偏差値(へんさち)は自分の点数から平均値を引いて標準偏差で割った値の一次変換です。

偏差値

偏差値とは異なる試験でも比較がしやすいように点数を標準化した値です。

平均値のところで利用した2つのグラフを用いて考えてみましょう。

A君が受けた試験の結果は80点。
受けた20人の点数は 20,20,30,30,40,40,40,50,50,50,50,50,50,60,60,60,70,70,80,80
のときは、全部足して20で割ると平均は50点となります。
グラフにするとこんな感じ。


0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

B君が受けた試験の結果は80点。
受けた20人の点数は 0,0,0,0,10,10,10,10,80,80,80,80,80,80,80,80,80,80,80,80
のときも、全部足して20で割ると平均は50点となります。
グラフにするとこんな感じ。


0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

A君とB君は点数が同じ80点ですから、どちらも同じくらいできたといってよいでしょうか。

グラフを見る限り、違うとは何となく分かりますが、これを何とか客観的に指標として表す事ができないだろうかと考え出されたのが「偏差値」です。

偏差値の求め方

平均値のところにも記載しましたが、A君が受けた試験のようにキレイな山型になる場合は平均値もよい値です。
しかし、B君が受けた試験のように極端な場合は、平均値から離れている人が多すぎて、平均値が何を表しているのかがよく分かりません。

A君もB君も平均値から30点も多く得点しています。
この30点にどれだけの価値があるのかを知るには、その試験を受けたみんながどれだけ平均値から離れた点数を得点したかと比べてやればいいような気がします。
例えば、B君の試験のようにみんなが80点で同じように平均値より30点多くとっている子が多い場合は、B君の平均値より30点が多い事にもあまり価値がないような気がしませんか？

ということで、その試験を受けた子がどれくらい平均値から離れた点数を得点したかをみてみましょう。

まずは、A君の試験。
20人それぞれ全員が平均値の50点からどれだけ離れていたかを計算してみましょう。

A君の試験の離れ具合=
(20-50)+(20-50)+･･･+(80-50)

･･･さて、困ったことにこれを計算すると値は0になります。
平均値は全員の点数を足して人数で割ったものです。この式のカッコを外してみると、結局、全員の点数の合計から平均値×人数(つまり全員の点数の合計と同じ)を引く事になってしまうためです。
(納得いかない人は計算してみよう！)

これでは平均値からの離れ具合が分からないので、それぞれ2乗することにします。

A君の試験の離れ具合=
(20-50)²+･･･+(80-50)²=5800
B君の試験の離れ具合=
(0-50)²+･･･+(80-50)²=27200

計算結果の数が大きくて分かりにくいですが、明らかにB君の試験の方がより沢山平均値から離れていることが分かります。

さらに、ちょっと待って。
今回はどちらも20人ずつで同じ人数でしたが、もし人数が違う場合は問題だと思いませんか？
だって、どんどん平均値からの離れ具合を2乗して足していくのですから、多くの人が試験を受けていればものすごい値になってしまいますよね。

なので、テストを受けた人数で割ってやって、1人頭の離れ具合にしてやりましょう。

A君の試験の離れ具合=5800÷20=290
B君の試験の離れ具合=27200÷20=1360

大分、値も小さくなりました。
大体こんなに値が大きいのは2乗して足したせい。単位で言うと「点数の2乗」。
これじゃ分かりにくいので、今度は逆に平方根√をとって、単位を元の「点」に戻しましょう。

A君の試験の離れ具合=√290=17.0
B君の試験の離れ具合=√1360=36.9

お、かなり点数として理解しやすい値になりました。

それぞれの試験を受けた人全員で考えた時の平均値からの離れ具合と比較するために、単純に割ってみましょう。

A君の場合=(80-50)÷17.0=1.76
B君の場合=(80-50)÷36.9=0.81

A君は同じ試験を受けた人たちよりも1.76倍、より平均値から離れた点数をとったといえます。
B君は同じ試験を受けた人たちよりも0.81倍、より平均値から離れた点数をとったといえます。

これで、とりあえずA君の80点の方がB君の80点よりも価値があることが分かりました。

さらにさらに、ちょっと待って。
今回はA君もB君も平均値より高い点数をとってました。もし平均値より悪かったら値はどうなる？

例えばA君の試験で20点の人を考えると、(20-50)÷17.0=-1.76　となりマイナスの値になってしまいます。
ちょっと嫌ですね。
第一、A君とB君も1.76とか0.81とか、小さすぎて分からん！

ということで、この答えを10倍してついでに100点満点の点数の真中50点を足してやったものを、「偏差値」として利用しているわけです。

A君の偏差値=1.76×10＋50=67.6
A君の偏差値=0.81×10＋50=58.1
A君の試験で20点の人=-1.76×10＋50=32.4

値もテストの点数っぽくなって、ぱっとみて試験の出来の良し悪しがわかるようにもなりました。

偏差値とは

で、結局「偏差値」とは何？　というと、各々が受けた試験の内容や、試験を受けた人たちの点数で、個人の点数を調整した値となります。

数学的に言えば、「平均値を引いた値を標準偏差で割ることで平均0,標準偏差1に標準化し、さらにデータを一次変換した」ものです。

この「偏差値」を用いる事で異なる試験を受けた人同士を比較することが可能ですし、科目を越えて、例えば国語と数学の成績を比べる事も可能になります。

学校の成績に偏差値が使われないのは何故？

偏差値は受験時になると登場しますが、学校の成績では見ませんよね。

偏差値の求め方を数式等を利用せずに説明しているから逆に分かりにくくなってしまったのですが、平均値や標準偏差(「A君の試験の離れ具合」とゆってたやつね)は、標本(その試験の点数と受けた人数)にかなり依存します。

極端な例でいけば、試験を受けた人数が2人だけよりも、200人受けた場合の方が、平均値も標準偏差もより信頼できそうですよね。
もっと簡単に言えば、あるレストランで2人が食べに行っておいしい！というよりも、200人が食べにいって判断してもらった方がおいしいかどうか信頼できますよね、というと分かりやすいかな？

ということで、学校では人数が少ないということと、もともと学校の期末試験は選抜のためではなく、授業内容を理解したかどうかが重要ですので偏差値なんかわざわざ計算して比較するといったことをしていないのです。